函数与极限

一、函数的有界性在界说域内有f(x)≥K1则函数f(x)在界说域上有下界，K1为下界;假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在界说域内有界的短缺需要条件是在界说域内既有上界又有下界。

二、数列的极限度理(极限的仅有性)数列{xn}不能同时收敛于两个差距的极限。

定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那末数列{xn}确定有界。

假如数列{xn}无界，那末数列{xn}确定发散;但假如数列{xn}有界，却不能判断数列{xn}确定收敛，好比数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界可是发散，以是数列有界是数列收敛的需要条件而不是短缺条件。

定理(收敛数列与其子数列的关连)假如数列{xn}收敛于a，那末它的任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于差距的极限，那末数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

三、函数的极限函数极限的界说中

定理(极限的部份保号性)假如lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或者A0(或者f(x)>0)，反之也建树。

函数f(x)当x→x0时极限存在的短缺需要条件是左极限右极限各自存在而且至关，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不至关则limf(x)不存在。

艰深的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

四、极限运算纪律定理：有限个无穷小之以及也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那末a≥b.

五、极限存在原则：两个紧张极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼原则假如数列{xn}、{yn}、{zn}知足如下条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那末limxn=a，对于函数该原则也建树。

干燥有界数列必有极限。

六、函数的不断性：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有界说，假如函数f(x)当x→x0时的极限存在，且即是它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那末就称函数f(x)在点x0处不断。

不不断天气：一、在点x=x0不界说;二、虽在x=x0有界说但lim(x→x0)f(x)不存在;三、虽在x=x0有界说且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不不断或者不断。

假如x0是函数f(x)的不断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类不断点(摆布极限至关者称可去不断点，不至关者称为跳跃不断点)。非第一类不断点的任何不断点都称为第二类不断点(无穷不断点以及震撼不断点)。

定理有限个在某点不断的函数的以及、积、商(分母不为0)是个在该点不断的函数。

定理假如函数f(x)在区间Ix上干燥削减或者削减且不断，那末它的反函数x=f(y)在对于应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上干燥削减或者削减且不断。反三角函数在他们的界说域内都是不断的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上不断的函数在该区间上确定有最大值以及最小值。假如函数在开区间内不断或者函数在闭区间上有不断点，那末函数在该区间上就不用定有最大值以及最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上不断的函数确定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上不断，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上不断的函数必取患上介于最大值M与最小值m之间的任何值。

专转本高数第一章函数、极限、不断